第一章 随机事件及其概率（共8学时）

一、本章的教学目标及其基本要求

1、明确学习概率论的意义，掌握随机事件等有关概念，概率的加法法则、条件概率与乘法法则以及有关计算；

2、理解事件间的关系及其运算，频率和概率的定义；

3、理解独立实验序列概型的概念，并基本掌握其有关计算。

二、本章各节教学内容及学时分配

§1.1 绪论 随机事件 2学时

§1.2 概率 2学时

§1.3 概率的加法法则 1学时

§1.4 条件概率与乘法法则 1学时

§1.5 独立试验概型 2学时

三、本章教学内容的重点和难点

重点：古典概型随机事件的计算；计算条件概型和独立试验概型随机事件的概率。

难点：理解全概率定理与贝叶斯定理的应用。

四、本章教学内容的深化和拓宽

可以在讲述过程中对概率在实际生活中的应用、在专业课程中的应用进行适当扩展，由于学时较少、学生基础比较薄弱，不易过深过宽进行讲解。

五、本章教学方式及教学过程中应注意的问题

教学方式：讲授法；

应注意的问题：概率的运算法则及其规律；应尽量把抽象的问题具体化，把复杂的问题简单化，使学生感到所学内容通俗易懂。

六、本章的主要参考资料

《概率论与数理统计(修订本)—经济应用数学基础(三)》 袁阴棠 中国人民大学出版社，2007

《概率论》（工程数学） 同济大学数学教研室 高等教育出版社，1982.

《概率论与数理统计》 陈薇 中国农业大学出版 1998.

《概率论与数理统计》（工科） 盛骤 谢式千 高等教育出版社 1979.

《概率论与数理统计》 李万军 赵白云 秦素萍 辽宁大学出版社

《概率与数理统计》 缪铨生 华东师范大学出版社

《概率论与数理统计教程》 魏宗舒等 高等教育出版社

《概率与数理统计习题全解》 王丽燕等 大连理工大学出版

七、本章的思考题和习题

各节思考题与习题1。

§1.1 随机事件（2学时）

一、教学内容：

1、简单介绍概率论的起源和研究范畴；

2、介绍概率论在现实生活、农业、气象以及在学生所学专业中的应用，强调学习概率论的重要性。

3、理解并掌握概率论的研究对象、内容；

4、理解并掌握随机事件的相关概念：随机现象，随机试验，随机事件，不可能事件，必然事件，样本点，样本空间，事件的集合描述；

5、掌握随机事件之间的关系与运算。

二、 教学方式：

讲授法

三、 师生活动设计：

通过抛掷硬币等生活例子，帮助学生理解随即事件的有关概念以及概率的内涵。

四、 板书设计：

讲授事件间的关系时要在黑板上画出6种图形，其余内容主要写清楚各知识点，重要概念、例题要祥写，其它内容可以略写。

五、 讲课提纲：

(一)、 课程简介，概率论课程的地位、性质、研究对象、方法、所需基础知识；

(二)、 前言：了解概率论与数理统计的研究对象、内容，方法；

(三)、 随机事件：确定现象、随机现象、随机事件、可能事件，必然事件，样本点，样本空间，这是本节的难点和重点；

(四)、 事件的集合与图示：这是本节的难点；

(五)、 事件间的关系及其运算的相关概念和例子，这是本节的难点和重点；

(六)、 小结。

六、作业： P25 2、3、5

七、课后自我分析总结：（此项内容由任课教师根据个人授课、学生课堂表现、学生完成作业等情况及存在问题进行分析总结，并提出改进意见，为后续教学提供参考）

教学内容：

一、绪论

1、简单介绍概率论的起源。

2、《概率论与数理统计》是研究随机现象规律性的一门学科。《概率论》是一门研究随机现象统计规律性数量关系的数学学科，而数理统计是研究如何有效地收集整理和分析受随机影响的数据，并作出统计推断、预测或者决策的一门学科，它是以概率论为基础的。

概率论与数理统计研究的对象——随机现象；

概率论与数理统计研究内容——随机现象的统计规律；

概率论与数理统计研究方式

概率论：研究随机现象及其规律性的性质，采取演绎推理方式。

数理统计：如何获得随机现象的规律性，采取归纳推理方式。

3、介绍概率论在现实生活、农业、气象以及在学生所学专业中的应用，强调学习概率论的重要性。

二、试验

1、定义

（1） 为了研究随机现象，就要对客观事物进行观察，观察的过程就称为试验。

（2） 概率论所研究的试验的特点：

① 在相同的条件下试验可以重复进行；

② 每次试验的结果具有多种可能性，而且在试验之前可以明确试验的所有可能结果；

③ 在每次试验之前不能准确地预言该次试验将出现哪一种结果。

三、随机事件的概念

1、定义：① 在概率论中，将试验的结果称为事件。

② 每次试验中，可能发生也可能不发生，而在大量试验中具有某种规律性的事件称为随机事件（或偶然事件），简称事件。

③ 表示：通常用大写拉丁字母A、B、C等表示。

④ 在随机事件中，不能分解为其它事件组合的最简单的随机事件称为基本事件。

例如：掷一颗骰子的试验中，其出现的点数，“1点”、“2点”、…、“6点”都是基本事件。

思考：“奇数点”是不是基本事件？

（不是基本事件，因为它是“1点”、“3点”、“5点”这三个基本事件组成的，只要这三个基本事件中的一个发生，“奇数点”这个事件就发生。

⑤ 每次试验中一定发生的事件称为必然事件，用符号表示。

⑥ 每次试验中一定不发生的事件称为不可能事件，用符号表示。

例如：在掷骰子的试验中，“点数小于7”是必然事件。“点数不小于7”是不可能事件。

注意：（1）必然事件与不可能事件有着紧密的联系。如果每次试验中，某一个结果必然发生（如“点数小于7”，那么这个结果的方面（“即点数不小于7”）就一定不发生。

（2）无论必然事件、不可能事件、还是随机事件，都是相对于一定的试验条件而言的，如果试验的条件变了，事件的性质也会发生变化。

比如：掷两颗骰子时，“点数总和小于7”是随机事件，而掷10颗骰子时，“点数总和小于7”就是不可能事件。

（3） 概率论所研究的都是随机事件，为了讨论问题方便，将必然事件及不可能事件作为随机事件的两个极端情况。

四、事件的集合与图示

1、对于试验的每一个基本事件，用只包含一个元素w的单点集合表示；

2、由若干个基本事件集合而成的事件，用包含若干个相应元素的集合表示；

3、由所有基本事件对应的全部元素组成的集合称为样本空间。

注意：样本空间作为一个事件是必然事件（为什么？），仍以表示。

4、每一个基本事件所对应的元素称为样本空间的样本点。

注：称某事件发生当且仅当属于该集合的某一个样本点在试验中出现。

5、表示：不可能事件用空集表示，必然事件用表示。为了直观，常用图形表示事件。一般地，用平面上某一个方（或矩）形区域表示必然事件，该区域的一个子区域表示事件。

五、事件间的关系及其运算

（1）定义

1、事件的包含

如果事件A发生必然导致事件B发生，即属于A的每一个样本点也都属于B，则称事件B包含事件A，或称事件A含于事件B。

记作： 或

注：① 等价说法：如果B不发生，必然导致A也不发生。

② 对于任何事件A，有

1、事件的相等

如果事件A包含事件B，事件B也包含事件A，称事件A与B相等。即A与B中的样本点完全相同。

记作

2、事件的并（和）

两个事件A、B中至少有一个发生，是一个事件，称为事件，…，的和，记作 或

可列个事件，，…，，…的和表示可列个事件，，…，，…的和，表示可列个事件，，…，，…中至少有一个事件发生，

记作 或

3、事件的交（积）

两个事件A和B同时发生，即“A且B”是一个事件，称为事件A与B的交。它是由即属于A又属于B的所有公共样本点构成的集合。记作

或

4、事件的差

事件A发生而事件B不发生，是一个事件，称为事件A与B的差。它是由属于A但不属于B的那些样本点构成的集合。记作

5、互不相容事件

如果事件A与B不能同时发生，即 ，称事件A与B互不相容（或互斥）。互不相容事件A与B没有公共的样本点。显然，基本事件是互不相容的。

6、对立事件

事件“非A”称为A的对立事件（或逆事件）。它是由样本空间中所有不属于A的样本点组成的集合。记作

7、完备事件组

若事件，…，为两两互不相容的事件，并且 ，称为

，…，构成一个完备事件组。

（2）图形表示

（3）概率论与集合论之间的对应关系

记号	概率论	集合论
	样本空间,必然事件	空间(全集)
	不可能事件	空集
	基本事件	元素
A	随机事件	子集
	A的对立事件	A的补集
	A出现必然导致B出现	A是B的子集
	事件A与事件B相等	A集合与B集合相等
	事件A与事件B的和	A集合与B集合的并集
	事件A与B的积事件	A集合与B集合的交集
	事件A与事件B的差	A与B两集合的差集
	事件A与B互不相容	A与B 两集合中没有相同的元素

(3) 例题

例1 掷一颗骰子的试验，观察出现的点数：事件A表示“奇数点”；B表示“点数小于5”，C表示“小于5的偶数点”。用集合的列举表示法表示下列事件：，A，B，C，A+B，A-B，B-A，AB，AC，。

解

例2 从一批产品中每次取出一个产品进行检验（每次取出的产品不放回），事件表示第次取到合格品（）。试用事件的运算符号表示下列事件：三次都取到了合格品；三次中至少有一次取到合格品；三次中恰有两次取到合格品；三次中最多有一次取到合格品。

解 三次全取到合格品：，，；

三次中至少有一次取到合格品：++；

三次中恰有两次取到合格品：+ +；

三次中至多有一次取到合格品：++。

例3 一名射手连续向某个目标射击三次，事件表示该射手第次射击时击中目标（）。试用文字叙述下列事件：+；；++；； -；；；；；；。

解 +：前两次中至少有一次击中目标；

：第二次射击未中目标；++：三次射击中至少有一次击中目标；

：三次射击都击中了目标；

=-：第三次击中但第二次未击中目标；

=：前两次均为击中目标；

=：后两次中至少有一次未击中目标；

：三次射击中至少有两次击中目标。

例4 如果表示一个沿数轴做随机运动的质点的位置，试说明下列各事件的关系。

解 各事件的情况如图1-2所示（见课本P6）。

由图可见，，；

D与B，D与E互不相容；C与E为对立事件；B与C，B与A，E与A相容，显然A与C，A与D，C与D，B与E也是相容的。

六、 小结

1、随机现象的特征: 条件不能完全决定结果.

2、随机现象是通过随机试验来研究的.

随 (1) 可以在相同的条件下重复地进行;

机 (2) 每次试验的可能结果不止一个,

试 并且能事先明确试验的所有可能结果;

验 (3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.

3. 随机试验、样本空间与随机事件的关系

4. 随机试验、样本空间与随机事件的关系

每一个随机试验相应地有一个样本空间, 样本空间的子集就是随机事件.

课后自我分析总结：

§1.2 概率

一、 教学内容：

1、掌握并理解频率与概率的关系和概念；

2、理解并会利用概率的统计定义和古典定义。

二、 教学方式：

讲授法

三、 师生活动设计：

复习高中的加法原理、乘法原理、排列组合的知识引入新知识。并通过例子来理解频率与概率的概念。理解统计定义，通过例子给出古典概型，进而引出古典定理以其用处。

四、 板书设计：

加法原理、乘法原理、排列组合的概念；频率的概念、概率的统计定义与古典定义。对于古典概型的例子要给出详细的讲解。

五、 讲课提纲：

(一)、 概率的统计定义：频率的定义，统计定义；

(二)、 概率的古典概型：定义通过例子给出；

(三)、 例题：用两种定义进行求解。在求解过程中要对例题进行扩展，对于例题的格式要给出解释，如何给出事件描述

(四)、 小结。

六、 作业： P26 5；11。

七、课后自我分析总结：（此项内容由任课教师根据个人授课、学生课堂表现、学生完成作业等情况及存在问题进行分析总结，并提出改进意见，为后续教学提供参考）

教学内容：

一、复习

1、加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m₁种不同的方法，在第二类办法中有m₂种不同的方法，……，在第n类办法中有m_n种不同的方法，那么完成这件事共有种不同方法．

2、乘法原理：若完成一件事情要经过两个步骤，其中第一步中有种不同的方法，第二步骤中有种不同的方法，则完成这件事情共有 种方法。

思考：若有n个步骤，怎么计算？

注意：区分两个原理。要做一件事，完成它若是有n类办法，是分类问题，第一类中的方法都是独立的，因此用加法原理；做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理．

　　完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来．

3、排列：从n个不同的元素中按顺序取r个排成一列（ ） 称为一个排列。所有可能的排列记为，则由乘法原理得

特别，当n = r时，称该排列为一个全排列，所有全排列的个数为

例题：

例1 从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取五个组成五位数,问共能组成多少个五位数?

解：从六个不同数中任取五个组成五位数, 相当于从六个数中任取五个数生成一个排列,因此,所有可能组成五位数共有

例2 从0,1,2,3,4,5, 这六个数字中任取四个，问能组成多少个四位偶数?

解 组成的四位数是偶数,要求末位为0,2或4,可先选末位数,共多少种,前三位数的选取方法有种,而0不能作首位,所以所组成的偶数个数为

4、组合：从n个不同的元素中任取r个元素组成一组（ ）称为一个组合。所有可能的组合数记为，由乘法原理，从n个元素中取r个生成的排列可分两步进行，首先从n个元素中取r个组成一组，共有种方法，然后再在取出的r个元素中进行全排列共有种方法，从而 所以从n个元素中取r个元素组成的组合数为

特别，当n = r时，，而且。

例题 例 3 从10名战士中选出3名组成一个突击队，问共有多少种组队方法？

解 按组合的定义，组队方法共有： （种）

二、概率的统计定义

1．研究对象：概率论研究的随机现象量的规律性。

2．随机现象的统计规律性：随机现象有其偶然性的一面，也有其必然性的一面，这种必然性表现在大量重复试验或观察中呈现出的固有规律性，称为随机现象的统计规律性。

注：随机事件在一次试验中是否发生是不确定的，但在大量重复试验中，它的发生具有统计规律性，所以应从大量试验出发来研究它。

3、例如：

（1）一盒粉笔，其中有99支是白色的，1支是红色的，从中任取一支，设表示“任取一支是白色粉笔”，表示“任取一支是红色粉笔”，显然，事件发生的可能性大于事件发生的可能性。

（2）某射手向同一距离大小不等的两个目标射击，设表示“击中大目标”，表示“击中小目标”，显然，事件出现的可能性大于出现的可能性。

4、问题：由上面看出，事件出现的可能性大小是可以比较的。但是怎样具体度量一个事件出现的可能性大小呢？看下面试验：

掷硬币10次，出现“正面”6次，它与试验总次数之比为0.6；掷骰子100次，“1点”出现20次，与试验总次数之比为0.2。

可见，仅从事件出现的次数，不能确切地描述它出现的可能性的大小，还应考虑它出现的次数在试验总次数中所占的百分比。

5．频率

定义：在次重复试验中，如果事件发生了次，则成为事件发生的频率。如果是必然事件，有，即必然事件的频率是1；对于不可能事件，有，从而不可能事件发生的频率为0；而一般事件发生的频率必在0和1之间。

重新来观察掷硬币的试验，观察事件“正面朝上”的频率，当投掷次数比较小时，频率是不稳定的，看不出什么规律，当投掷次数越来越大时，频率将呈现出在某个常数附近摆动的明显趋势。前人掷硬币试验的一些结果列于表1-1。

表1-1

试验者	投掷次数	正面出现次数	正面出现频率
德·摩尔根	2048	1061	0.518
蒲丰	4040	2048	0.5069
皮尔逊	12000	6019	0.5016
皮尔逊	24000	12012	0.5005
维尼	30000	14994	0.4998

由上表看出，出现正面的频率接近0.5，并且抛掷次数越多，频率越接近0.5。由此可看出，在大量重复试验的情况下，某个事件出现的频率是稳定的，它的数值徘徊在某个确定的常数附近。而且一般来说，试验的次数越多，事件的频率就越接近那个确定的常数。

6．概率的统计定义：在不变的条件下，重复进行次试验，事件发生的频率稳定地在某一个常数附近摆动，且一般说来，越大，摆动幅度越小，则称常数为事件的概率，记作。

注：（1）数值（即事件的概率）就是在一次试验中对事件发生的可能性大小的数量描述。

（2）事件发生的概率为，说明在次试验中，事件发生的次数大约为次，同时也反映了在一次试验中事件发生可能性的大小。

综上所述，频率的稳定性是概率的经验基础，但并不是说概率决定于试验。一个事件发生的概率完全取决于事件本身的结构，是先于试验而客观存在的，不会因人而异，不随人们的主观意志而改变。

注：概率的统计定义仅仅指出了事件的概率是客观存在的，但并不能用这个定义计算。

7．概率的基本性质：

性质1：；

性质2：若是必然事件，则；

性质3：若是必然事件，则。

三、概率的古典定义

1．一类最简单的随机试验，它具有下述特征：

（1）每次试验只有有限种可能的试验结果，即组成试验的基本事件总数为有限个；

（2）每次试验种，各基本事件出现的可能性完全相同。

具有上述特点的试验称为古典概型试验。

2．古典定义：设试验结果由个基本事件组成，且这些事件的出现具有相同的可能性，若事件由其中某个基本事件所组成，则事件的概率是

这里，构成一个等概率的完备事件组。

四、例题

例1．袋内装有5个白球，3个黑球。从中任取两个球，计算取出的两个球都是白球的概率。

分析：由于是任意抽取，每个球被取到的可能性相同，即每个基本事件发生的可能性是相同的，从而这个问题属于古典概型。该试验是从5个白球，3个黑球中也即8个球中任取2个球，完成这个试验共有种方法，即共有个基本事件；设事件表示“取出的两个球都是白球”，因为共有5个白球，所以取到白球的方法共有种，即事件包含个基本事件。

解：根据古典概率计算公式有

例2．一批产品共有200个，有6个废品，求：（1）这批产品的废品率；（2）任取3个恰有1个废品的概率；（3）任取3个全非废品的概率。

解：设分别表示（1）（2）（3）中所求的概率，则有：

（1）；（2）；（3）

例3．两封信随机地向标号为的4个邮筒投寄，求第二个邮筒恰好被投入一封信的概率。

解：设事件表示第二个邮筒只投入1封信。两封信随机投入4个邮筒，共有种等可能投法，而组成事件的不同投法只有种。故。

五、小结

（1）样本空间的元素(基本事件)只有为有限个，

即

定义

古典概型 (2) 每个基本事件发生的可能性是相等的，

P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn)。

应用 ，m为事件A包含的基本事件数，n为样本空间包含的基本事件数

课后自我分析总结：

§1.3 概率的加法法则（1学时）

§1.4 条件概率与乘法法则 （1学时）

一、教学内容：

1、掌握并理解加法法则的条件，并会应用；

2、理解条件概率和乘法法则，并会计算；

3、理解并基本掌握全概率定理与贝叶斯定理。

二、教学方式：

讲授法

三、师生活动设计：

结合事件的关系和例题引入加法法则，并进行分析，给出性质。通过引例给出条件概率，分析条件概率的定义给出乘法法则。对于全概率定理与贝叶斯定理要进行分析。

四、板书设计：

加法法则的结论，条件概率的定义，乘法法则，全改了定理、贝叶斯定理。

五、讲课提纲：

（一）、加法法则：引例，重要结论，应用；

（二）、条件概率：引例，公式；

（三）、乘法法则：公式，条件，变形，应用；

（四）全概率定理与贝叶斯定理：引例，内容，区别；

（五）、小结。

六、作业： P27 19；22；23。

七、课后自我分析总结：（此项内容由任课教师根据个人授课、学生课堂表现、学生完成作业等情况及存在问题进行分析总结，并提出改进意见，为后续教学提供参考）

教学内容（加法法则）：

一、 引例

例1 100个产品中有60个一等品，30个二等品，10个废品。规定一，二等品都为合格品，考虑这批产品的合格率与一、二等品率之间的关系。

设事件A、B分别表示产品为一、二等品。显然事件A与B互不相容，并且时间表示产品为合格品，按古典定义公式（1.1）有：

可见

例2 计算§1.2例2中任取3个产品最多只有1个废品的概率。

解 设事件，分别表示3个产品中有0个和1个废品，则依题意，且与互不相容。按古典定义，试验的基本事件总数为个，而有利于B的基本事件数恰好是有利用与的基本事件数之和，因此

根据上节例2中（2）及（3）的计算结果有

因此，

二、 加法法则及性质

1、加法法则：对于任意的两个互斥事件，它们都满足下面的运算法则：

加法法则 两个互斥事件之和的概率等于它们概率的和。

即当时，

（1.2）

实际上，只要，（1.2）式就成立。

2、性质：

（1） 如果n个事件两两互不相容，则

（1.3）

这个性质称为概率的有限可加性。

注意：在建立概率概念时需要规定概率应具有完全可加性（又称可列可加性），即如果可列个事件两两互不相容，则有：

（1.4）

注：今后直接用这个结论。

（2）若n个事件构成一个完备事件组，则它们概率的和为1，即

（1.5）

特别地，两个对立事件概率之和为1，即

经常使用的形式是： （1.6）

（3）如果，则

（1.7）

（4）对任意两个事件A、B，有

（1.8）

（1.8）式又称广义加法法则。

思考：把它推广到任意有限个事件的和。

三、练习题

例3 产品有一、二等品及废品3种，若一、二等品率分别为0.63及0.35，求产品的合格率与废品率。

解 令事件A表示产品为合格品，、分别表示一、二等品。显然与互不相容，并且，由（1.2）式，有

例4 一个袋内装有大小相同的7个球，4个白球，3个为黑球。从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率。

解 设事件A表示抽到的3个球中有i个白球（），显然与互不相容，由（1.1）式有：

根据加法法则，所求的概率为：

例5 50个产品中有46个合格品与4个废品，从中一次抽取33个，求其中有废品的概率。

解 设事件A表示取到的3个中有废品，则

四、三条定理：

（1） 对任何事件A，；

（2） ；

教学内容（条件概率与乘法法则）

（一）条件概率

1、引例

在§1.3的例1中，若从合格品中任取一件，取到一等品的概率是60/90，这是合格品中的一等品率。而该例中的60/100，即是整批产品中的一等品率。为此给出下面定义以示区别。

2、定义1.3 在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率，称为事件A 在给定B下的条件概率，简称为A对B的条件概率，记作。相应地，把称为无条件概率。

注意：这里只研究作为条件的事件B具有正概率（）的情况。

说明：条件概率也是一种概率，它有概率的三个基本属性。

3、例题

例1 市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂的合格率是80%。若用事件A、分别表示甲、乙两厂的产品，B表示产品为合格品，试写出有关事件的概率。

解 依题意

进一步可得：

例2 全年级100名学生中，有男生（以事件A表示）80人，女生20人；来自北京的（以事件B表示）有20人，其中男生12人，女生8人；免修英语的（用事件C表示）40人中有32名男生，8名女生。试写出 ， ， ，，，，，。

解 依题意，有

（二）乘法法则

1、引入

观察例2中可以得到：

（1.9）

注意：对于一般情况下任意两个事件，只要有关的条件概率有意义，都满足（1.9）式。

2、定义

在概率论中把某一事件B在给定另一事件A（）下的条件概率定义为

乘法法则 两个事件A、B之交的概率等于其中任一个事件（其概率不为零）的概率乘以另一个事件在已知前一个事件发生下的条件概率，即

（若）

（若） （1.10）

推广，关于n个事件的乘法公式为

（1.11）

3、例题

例3 求本节例1中从市场上买到一个灯泡是甲厂生产的合格灯泡的概率。

分析：要计算从市场上买到的灯泡既是甲厂生产的（事件A发生），又是合格的（事件A发生）概率，也就是求A与B同时发生的概率。

解：由（1.10）式，有

思考：（1）从市场上买到一个乙厂合格灯泡的概率是多少？（0.24）

（2）为什么不是？

（3）买到的一个灯泡是乙厂生产的废品的概率？（0.06）

（4）市场上供应的灯泡的合格率是多少？

例4 10个考签中有4个难签，3人参加抽签（不放回），甲先，乙次、丙最后。求（1）甲抽到难签的概率，（2）甲乙都抽到难签的概率，（3）甲没抽到难签，而乙抽到难签的概率,（4）甲、乙、丙都抽到难签的概率？

解 设事件A、B、C分别表示甲、乙、丙各抽到难签，由公式（1.1）、（1.10）及（1.11），有

思考：计算乙抽到难签的概率以及丙抽到难签的概率？

（三）全概率定理与贝叶斯定理

1、引例

例5 计算本节例1中市场上灯泡的合格率。

解 由于，并且与互不相容，由（1.2）及（1.10）式，有

进一步可以计算买到的合格灯泡是甲厂生产的概率：

同样的方法可以计算本节例4中乙抽到难签的概率 ：

从形式上看事件B是比较复杂的，仅仅使用加法法则或乘法法则无法计算其概率。于是先将复杂的事件B分解为较简单的事件与；再将加法法则与乘法法则结合起来，计算出需要求的概率。把这个想法一般化，得到全概率定理，又称全概率公式。

2、定理1.1（全概率定理） 如果事件构成一个完备事件组，并且都具有正概率，则对任何一个事件B，有

注释：事实上，只要的和能包含事件B，即，并且两两互不相容，定理1.1就成立（定理1.2亦同）。

证明 由于两两互不相容，因此，也两两互不相容。而且

由加法法则有

3、例题

例6 12个乒乓球都是新球，每次比赛时取出3个用完后放回去，求第3次比赛时取到的3个球都是新球的概率。

解 设事件、、分别表示第一、二、三次比赛时取到i个新球（）。显然，并且构成一个完备事件组，由（1.1）式，有

（）

（）

4、定理1.2（贝叶斯定理） 若构成一个完备事件组，并且它们都具有正概率，则对任何一个概率不为零的事件B，有

（）（1.13）

证 由（1.9）式，有

再利用公式（1.10）及（1.12），有

注：这个定理又称贝叶斯（Bayes）公式。

5、例题

例7 假定某工厂甲、乙、丙3个车间生产同一种螺钉，产量依次占全厂的45%、35%、20%。如果各车间的次品率依次为4%、2%、5%。现在从待出厂产品中检查出1个次品，试判断它是由甲车间生产的概率。

解 设事件B表示“产品为次品”，分别表示“产品为甲、乙、丙车间生产的”。显然，构成一个完备事件组。依题意，有

由（1.13）式，有

思考：计算任取一个该厂生产的合格品，恰好是甲车间生产的概率。

注释：（1）全概率公式给了我们一个计算“多因一果”事件中“结果”发生概率的公式，当知道在各种原因发生的条件下，事件Ｂ发生的概率时，事件Ｂ发生的概率可以通过全概率公式求得。

（2）若事件B已发生，且已知在各种原因发生的条件下B发生的概率，求事件B是由原因引起的可能性，则可用贝叶斯公式。

（3）全概率公式或贝叶斯公式都需要找到一个完备事件组。

6、小结

课后自我分析总结：

§1.5 独立实验概型 （2学时）

一、教学内容：

1、掌握并理解事件的独立性及其结论；

2、理解贝努里概型。

二、教学方式：

讲授法

三、师生活动设计：

通过讲解定义、举例、提问等形式，使学生掌握时间的独立性及其相应的结论。再通过举例给出贝努里概型，为以后学生重要分布坐下基础。

四、板书设计：

相互独立的定义、结论，贝努里定理。

五、讲课提纲：

（一）、事件的独立性：引例，定义，结论，例题；

（二）、独立试验序列概型：引例，分析，贝努里定理，例题；

（三）、小结。

六、作业： P28 31；P29 38。

七、课后自我分析总结：（此项内容由任课教师根据个人授课、学生课堂表现、学生完成作业等情况及存在问题进行分析总结，并提出改进意见，为后续教学提供参考）

教学内容：

（一） 事件的独立性

1、定义1.4 如果实践A发生的可能性不受事件B发生与否的影响，即，则称事件A对于事件B独立。显然，若A对于B独立，则B对于A也一定独立，称事件A与事件B相互独立。

定义1.5 如果个事件中任何一个事件发恶化那个的可能性都不受其它一个或几个事件发生与否的影响，则称相互独立。

2、关于独立性的几个结论：

（1）事件A与B独立的充分必要条件是

（2）若事件A与B独立，则A与、与B、与中的每一对事件都相互独立。

（3）若事件相互独立，则有

（1.14）

（4）若事件相互独立，则有

(1.15)

证明 （1）必要性 若A与B中有一个事件概率为零，则结论显然成立。设A、B概率都不为0，由于A与B独立，有。而由（1.10）式，有，因此得到。

充分性 不妨设。

因为 及

所有

即A与B独立。

（2）只证明A与独立，其它两对的证法类似，留做练习题。

由结论1，A与独立。

（3）

而 ，…，

所以

（4）

由于相互独立，也相互独立，所以

例1 甲、乙、丙3部机床独立工作，由一个工人照管，某段时间内它们不需要工人照管的概率分部为0.9、0.8及0.85。求在这段时间内由机床需要工人照管的概率以及机床因无人照管二停工的概率。

解 用事件A、B、C分别表示在这段时间内机床甲、乙、丙不需工人照管。依题意，A，B，C相互独立，并且

课后自我分析总结：